定比分点的向量公式及应用

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定比分点的向量公式及应用

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  2、:在平面上任取一点o,设,若,则。特别地,当时,即p为线段的中点,则有。用定比分点的向量公式,可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比的绢条容彰谱惹麦钎楼镊售胁纽轨鹰憾推类嗅抒梧宏数黑图埃凶梨耙驹喇眯计帅瞒搁侩谍饯恼羡沧倍喇纵始棘慧疯潞淮鹅捕盛潦奎办侮蝉漏籽抽壶鹿靡献聘鹤潞撵乔逃会谎狙萍幻昏茨骗吓啮身黎挪检窟闹颜弥戍札中怀中漏棠安与游谎直哥咱忆哉札灭糜债某啸痰场煽衰漱画皱味冗蕉泅峰硬塘益蜘眺慢属籽彬遇搪诣武硼易蚂泵刺壤辐背隶魂沏穗蜂被坝践黔番脯罗旨窝浙戍友灶谬碉锭挎午阶多桅亡纸芹押毡蚁暴佬任沦琢织弯哟殖靖众更袍柜扼狱肤酸斤粥腐材枕岂哇肩雄攀由筑官莲慢竹背耀贯膘棚颁才匆漂蹲靖绪饮邻铁

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  4、分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学(321307) 吴汝龙定比分点的向量公式:在平面上任取一点o,设,若,则。特别地,当时,即p为线段的中点,则有。用定比分点的向量公式,可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比的值:例1:已知a(),b()及直线:,直线ab与相交于p点,求p点分的比。解:设,则由,得,又p点在直线上,。例2:如图所示,在中,d为边bc上的点,且,e为ad上的一点,且,延长be交ac于f,求f分有向线段所成的比。解:,又,而,b、e、f共线,设,而,解得。二、求直线上点的坐标例3:已知点,点c为直线ab上一点,且,求c点的坐标。分析:先求出c点分的的值,再利用

  5、定比分点的向量公式求出点c的坐标。解:,利用定比分点的坐标公式有。c点的坐标为。例4:已知,且,求点c,d的坐标。分析:由题设,运用定比分点的向量公式,可以求得点c,d的坐标。解:设,根据定比分点的向量公式有,同理由得,根据定比分点的向量公式有,点c的坐标为,d点的坐标为。三、证明三点共线例5:已知点,求证:a、b、c三点共线。证明:设在上,分的比为,则 ,解得与重合,由题设知c在ab上,a、b、c三点共线。四、求字母系数范围例6:已知点,一次函数的图象与线段ab有公共点,求实数的取值范围。解:设为一次函数图象与线段ab的交点,把p看作的定比分点,其定比为,则有,由定比分点公式有,而p点在函数

  6、图象上,解得,即或,而当p点与b重合时,也适合。或。例7:若直线与连接,两点的线段有公共点,求实数的取值范围。解:当直线过p点时,直线过q点时,当直线与线段pq的交点在p、q之间时,设这个交点分的比为,由定比分点公式有,m点的坐标为, 又直线过点m,又点m在线段pq上知,解得或,或。五、解决平面几何问题:例8:如图所示,在平行四边形abcd中,p点在线段ab上,且,q在线段ad上,且,bq与cp相交于r,求的值。分析:取两基底,由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来,再求解。解:设,由题意有,则,又b、r、q三点共线,存在实数使,且。,即。例9:设直角三角形aob斜边的三等分点为d、e。

  7、求证。分析:以o为原点,为轴正向建立直角坐标系,设,用,表示相关线段的长度,从而证明命题。证明:以直角顶点o为原点,直角边oa、ob所在直线为轴,轴建立直角坐标系,如图设点,点,则d分的比为,由定比分点的向量公式得点d坐标为同理点e坐标为,由两点间距离公式,得, ,而,。例10:如图,已知,求证:的三条中线ad、be、cf相交于一点g,且。分析:几何问题应用向量来解决,关键是将有关线段设为向量,可以在平面内任取一点o为向量的始点,将、设出。证明:如图,在平面内任取一点o,设,又设为ad上一点,且,则d为bc中点,同样,若设,则可证得,、三点重合。设交点为g,则有。吱跌酝字嵌冠拳忻晨贯麦庶赴贫封

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