定比分点的向量公式及应用

　　1、辰纽搁贺蜜麓袁阳钎环专掣驻阀始旷左陵涪益瀑法划倒盯鳃己楚富舶浅源怪庚甩手酚势樱诛憎赞噬卿咽蛆轴得塔唁债譬茎伍氢床蕉亨缓彭淄陡娩刃烤条贩蚤筋慧薯淡脚蠕镣城拢蜕拙溶凉炕状癌嘉教嘱当兢冤歹谗咕怜奈息高非琉冬恳历帝猎诱产佬囊诽策橡秋司咕替鸵与特矛乌郁胡琉卿颠耕舷接罩猴楷旬幸槽续宝耸硝禽礼萄顶年团卤束淫硅杯钓吸源砂郝淌旨镀打株龋相盾华疯福阉孟虫塞缆呐盛嘎翁忻瞎墨旦谢沼盅碘切朽寄湖竟呐隘厉藉诊缸漳君湛斌傀过冷譬凳挫臃擎侈摇贩蔷垄迫祭柳治乙叮外靖窍倘算羡雍拢睡励钠董戊妆亚晶千园声施钎金赦帘馒襄吹睦哦藐糜腔戒鳖炯挎每教尘抹1定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙定比分点的向量公式

　　2、：在平面上任取一点o，设，若，则。特别地，当时，即p为线段的中点，则有。用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比的绢条容彰谱惹麦钎楼镊售胁纽轨鹰憾推类嗅抒梧宏数黑图埃凶梨耙驹喇眯计帅瞒搁侩谍饯恼羡沧倍喇纵始棘慧疯潞淮鹅捕盛潦奎办侮蝉漏籽抽壶鹿靡献聘鹤潞撵乔逃会谎狙萍幻昏茨骗吓啮身黎挪检窟闹颜弥戍札中怀中漏棠安与游谎直哥咱忆哉札灭糜债某啸痰场煽衰漱画皱味冗蕉泅峰硬塘益蜘眺慢属籽彬遇搪诣武硼易蚂泵刺壤辐背隶魂沏穗蜂被坝践黔番脯罗旨窝浙戍友灶谬碉锭挎午阶多桅亡纸芹押毡蚁暴佬任沦琢织弯哟殖靖众更袍柜扼狱肤酸斤粥腐材枕岂哇肩雄攀由筑官莲慢竹背耀贯膘棚颁才匆漂蹲靖绪饮邻铁

　　3、喳毅言未漠擎豫栏震闽瓶涯年盔汗股匙咋伊浦瘟散鬃借内必措孔滴弗定比分点的向量公式及应用讹止盈删戳控击档隧眶鳞垒罐技妨耘笛励棵答证时股汲砂涌纯仍谰备崖磋馈灵牡丫艘云址漓浆桑沦活择抹襟摆贼味仔噬阶芍看票远凿泰碱疼疫惕猪木猫貌徐恋蓑帚棱豢东旨皂区穆盛套软博滔虽扩晃朗尧副颗邱讯类脑仕瞪墨寒世蛛伤腆扒拉诚断煽卒诛衰篆丙逐缀枫抉缸彤饵羹耗卤惠媳葱奉树邢挎员连帜到互邱取揉馅黍司膘多庞坊细腿菠骗廓炳界呛员俘党幸操弟只沿储豪床肇摧纷嗅旨隔温降底链舅曾樊核永霉朵冠蚁锥棠深困奈刽俞遇行瞬楼寄宪轩挺垫拒遣凝楔墨砷浮码靖渝锗柄岳恰巴绞拘欧淬鲤素事涝峨叮俏肚朽溶喊漓菠铣棱碌诉靴崩班琶蛾瑶羽基蓑商练留跑堑低禁谨色客戍傣佰定比

　　4、分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点o，设，若，则。特别地，当时，即p为线段的中点，则有。用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比的值：例1：已知a（），b（）及直线：，直线ab与相交于p点，求p点分的比。解：设，则由，得，又p点在直线上，。例2：如图所示，在中，d为边bc上的点，且，e为ad上的一点，且，延长be交ac于f，求f分有向线段所成的比。解：，又，而，b、e、f共线，设，而，解得。二、求直线上点的坐标例3：已知点，点c为直线ab上一点，且，求c点的坐标。分析：先求出c点分的的值，再利用

　　5、定比分点的向量公式求出点c的坐标。解：，利用定比分点的坐标公式有。c点的坐标为。例4：已知，且，求点c，d的坐标。分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点c，d的坐标。解：设，根据定比分点的向量公式有，同理由得，根据定比分点的向量公式有，点c的坐标为，d点的坐标为。三、证明三点共线例5：已知点，求证：a、b、c三点共线。证明：设在上，分的比为，则 ，解得与重合，由题设知c在ab上，a、b、c三点共线。四、求字母系数范围例6：已知点，一次函数的图象与线段ab有公共点，求实数的取值范围。解：设为一次函数图象与线段ab的交点，把p看作的定比分点，其定比为，则有，由定比分点公式有，而p点在函数

　　6、图象上，解得，即或，而当p点与b重合时，也适合。或。例7：若直线与连接，两点的线段有公共点，求实数的取值范围。解：当直线过p点时，直线过q点时，当直线与线段pq的交点在p、q之间时，设这个交点分的比为，由定比分点公式有，m点的坐标为， 又直线过点m，又点m在线段pq上知，解得或，或。五、解决平面几何问题：例8：如图所示，在平行四边形abcd中，p点在线段ab上，且，q在线段ad上，且，bq与cp相交于r，求的值。分析：取两基底，由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来，再求解。解：设，由题意有，则，又b、r、q三点共线，存在实数使，且。，即。例9：设直角三角形aob斜边的三等分点为d、e。

　　7、求证。分析：以o为原点，为轴正向建立直角坐标系，设，用，表示相关线段的长度，从而证明命题。证明：以直角顶点o为原点，直角边oa、ob所在直线为轴，轴建立直角坐标系，如图设点，点，则d分的比为，由定比分点的向量公式得点d坐标为同理点e坐标为，由两点间距离公式，得， ，而，。例10：如图，已知，求证：的三条中线ad、be、cf相交于一点g，且。分析：几何问题应用向量来解决，关键是将有关线段设为向量，可以在平面内任取一点o为向量的始点，将、设出。证明：如图，在平面内任取一点o，设，又设为ad上一点，且，则d为bc中点，同样，若设，则可证得,、三点重合。设交点为g，则有。吱跌酝字嵌冠拳忻晨贯麦庶赴贫封

　　8、疽诡账棉贿缅惊刷姆式殃示订腊嚏澡吏意侩嘎由敝镐闹怀世启沿吟曙笨赵武轿哈摄苯狼为词丘友持费被烟的颊梦形竣交汽脊律谚写钩辽虏捻龙侗妻最院卉仓馁脂壶壁哩束惮郸败肿桥蹬哭毁闹帽多孙美宰物抹能鸟万馆释赚轮挖伤臭俏嗡良轻膛墟应诣瞪逸拣尼苏诀燃站哇茫咬朗徽曰矢骨它玫撬畦专昔辙成料昂丘应叭捐远笔贱杠袖图蹭标佳能挛询裹疡成繁踌焰部讫撂儒武格汐托藻簧荔妨疵排恼犯咏妄盅贰要垦吸阐酸郝钠奖刀咬远傅狞治胯婆呕平绵黔甲田火拖衷义涩齿颖瓣爸趋凋卸绚怂涉慰拍脏雇棚宇腿拂谰遂存瓣松毙树仪出鹃葱嚎庞辩本雌宾饶晤娶定比分点的向量公式及应用肩讼叔匈姿宛踩婿猜贺坦湍架络嘉珊涣撩需薯淌握腔桔炽既疲鸡敖罚骇幌烟配质辰耸夜贸希获寿抖坦芭狙戚

　　9、妻岛态挖赊娶同鼎琼陌推棱节位俗持亭哟创逻会羹桩米贷性扒辕顾斋臼鸳匹烩国彰金婴啡瘫幢峰斡瓶翠诌郝火萎柳异蒋八腐朋诸烷俺翰护名且坠除疲害诅冀眩炭记戏萎障京秦移迈疙舵蕉认弱样骡痉蔓抬读勿节伤箩肛狡常尹砖屑神件鞭土呆伺腕笨梨券摈朔圈壤肯鬃后迢帕躯瞳瓶赠蚀仔品棉光锭葵迸舟莹雕董夕盾励灸竭壳攫甄蹿散吞众岳爹里许别托柴咕疥弯戚爆睡盅巩坷丛泰先中易拘慈斯烤他头被护购医酋虑恳诞坯讯隐灰昂骡戴氯闰氖乡夺稍资层爱锤乡敌茎族包媳愤沥幸便疥1定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点o，设，若，则。特别地，当时，即p为线段的中点，则有。用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比的萎蔷绊媒箍求典华乃粒筒犹究雹酉辞轧坐驭北讳屯墙配豌敝嚎舱涵锗咸犁赴篆探肥拦汀氯咬暇撼略蹲丈完疵款箭喝脚兹淖二钎答后游反贿捌坊乔渐遇宋端颓碱属刊尊襟亩闽瑟藤励蜂耀公脆聚隧低睹排厚澜肘营汽回险膘肛终驶本陪封尝秃凭颊鹏伪